Question

【題目】 已知：Rt△EFP和矩形ABCD如圖①擺放（點P與點B重合），點F，B（P），C在同一條直線上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如圖②，△EFP從圖①的位置出發，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s；EP與AB交于點G．同時，點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s。過Q作QM⊥BD，垂足為H，交AD于M，連接AF，PQ，當點Q停止運動時，△EFP也停止運動．設運動時間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問題：

（1）當 t 為何值時，PQ∥BD？

（2）設五邊形 AFPQM 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻 t，使？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻 t，使點M在PG的垂直平分線上？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t= ；（2） （3）t=2，9:8（4）t=

【解析】

試題分析：（1）利用△CPQ∽△CBD，列比例式求出t的值；

（2）利用△MDQ∽△CBD，得MD=（6-t），再利用，可求得函數的解析式；

（3）利用=9:8得方程求解；

（4）利用△PBG∽△PEF，得AG、AM，作MN⊥BC，構造矩形MNCD，則MN=6，PN=（8-t）-（6-t）=，然后根據AG2+AN2=PN2+MN2可列方程求解.

試題解析：（1）若PQ∥BD，則△CPQ∽△CBD，可得，即，解得t=；

（2）由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，可得∠MQD=∠CBD，

又∠MDQ=∠C=90°，∴△MDQ∽△CBD ，

∴

即

解得MD=（6-t），

所以

=

=

即

（3）假使存在t，使

則，即

整理得，解得

答：當t=2，

（4）易證△PBG∽△PEF，

∴，即，∴

則

作MN⊥BC于N點，則四邊形MNCD為矩形

所以MN=CD=6，CN=，故：PN=

若M在PG的垂直平分線上，則GM=PM，

所以，所以

即：

整理得：，解得。