Question

【題目】已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，以AD為對角線作正方形AEDF，DE交AB于點M，DF交AC于點N，連結EF，EF分別交AB、AD、AC于點G、點O、點H.

（1）求證：EG=HF；

（2）當∠BAC=60°時，求的值；

（3）設,△AEH和四邊形EDNH的面積分別為S1和S2，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3).

【解析】

（1）根據等腰三角形的判定與性質，正方形的性質易證△AGH為等腰三角形，通過“三線合一”可得OG=OH，即可得證；

（2）由等邊三角形的性質可設OH=a，則OA=OE=OF=a，則EH=（）a，HF=（）a，

根據相似三角形判定易證△AEH∽△NFH，△AOH∽△ADC，△HNF∽△CND，然后通過相似三角形的對應邊成比整理即可得解；

（3）設EH=2m，則FH=2km，OA=EF=（k+1）m，分別得到S1、S△HNF和S△EDF關于k，m的表達式，再根據S2=S△EDF - S△HNF得到S2的表達式，進而得到關于k的表達式，通過配方法即可得解.

(1)在正方形AEDF中，OE=OF，EF⊥AD，

∵AD⊥BC，

∴EF∥BC，

∴∠AGH=∠B，∠AHG=∠C，

而AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠AGH=∠AHG，

∴AG=AH，

∴OG=OH，

∴OE-OG=OF-OH，

∴EG=FH；

(2)當∠BAC=60°時，△ABC為正三角形，

∵AD⊥EF，

∴∠OAH=30°，

∴，

設OH=a，則OA=OE=OF=a，

∴EH=（）a，HF=（）a，

∵AE∥FN，

∴△AEH∽△NFH，

∴，

∵EF∥BC，

∴△AOH∽△ADC，

∴，

∴CD=2a，

易證△HNF∽△CND，

∴，

∴；

(3)設EH=2m，則FH=2km，OA=EF=（k+1）m，

∴S1=（k+1）m2，

由（2）得，△AEH∽△NFH，

∴S△HNF=k2S1=k2（k+1）m2，

而S△EDF=OA2=（k+1）2m2，

∴S2=S△EDF - S△HNF =（k+1）2m2 -k2（k+1）m2=（-k2+k+1）（k+1）m2，

∴=-k2+k+1，

∴當k=時，最大=.