Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝6，AM，BN是⊙O的兩條切線，點D是AM上一點，連接OD，作BE∥OD交⊙O于點E，連接DE并延長交BN于點．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）設AD＝x，BC＝y．求y與x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）

（3）若AD＝1，連接AE并延長交BC于F，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝；（3）EF＝.

【解析】

(1)證明△OAD≌△OED(SAS)，即可求解；

(2)利用OC2＝(OBsinα+BCcosα)2＝OB2+BC2，即可求解；

(3)在Rt△AOD中，tanα＝，則cosα＝，在等腰三角形△EFC中，EF＝2ECcosα，即可求解．

(1)連接OE，

∵BE∥OD，∴∠AOD＝∠ABE＝∠OEB＝∠DOE＝∠α，

AO＝OE，OD＝OD，

∴△OAD≌△OED(SAS)，

∴∠OED＝∠OAD＝90°，

∴DC是⊙O的切線；

(2)連接OC，

∵DC是⊙O的切線，

∴BE⊥OC，

∠OBE＝∠OCB＝α，

在Rt△AOD中，tanα＝，則sinα＝，cosα＝，

OC2＝(OBsinα+BCcosα)2＝OB2+BC2，

其中OB＝3，BC＝y，代入上式并整理得：y＝；

(3)∵AM∥BN，

∴∠MAF＝∠AFN＝α，而∠DAE＝∠DEA＝α，

∴∠CEF＝∠CFE＝α，

由(2)知，當x＝1時，y＝9，

即：AD＝AE＝1，EC＝CF＝9，

在Rt△AOD中，tanα＝，則cosα＝，

在等腰三角形△EFC中，

EF＝2ECcosα＝2×9×＝．