Question

OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6．
（1）如圖，在AB上取一點M，使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作B'點．求B'點的坐標；
（2）求折痕CM所在直線的解析式；
（3）作B'G∥AB交CM于點G，若拋物線y=

1

6

x²+m過點G，求拋物線的解析式，并判斷以原點O為圓心，OG為半徑的圓與拋物線除交點G外，是否還有交點？若有，請直接寫出交點的坐標．

Answer 1

分析：（1）求B′的坐標就是求OB′的長，也就要知道CB′的長，而根據折疊的性質可知CB′=CB，而四邊形OCBA是矩形，可得出CB=OA，、，也就得出了CB′=OA，即可求出OB′的長，也就求出了B′的坐標；
（2）求CM所在直線的解析式，根據OC的長可得出C的坐標，關鍵是求M點的坐標，M的橫坐標與A的橫坐標相同，那么就要求出M的縱坐標即AM的長，（1）中已求得了OB′的長，也就求出了AB′的長，可用AM表示出MB也就是MB′的長，然后在直角三角形AB′M中用勾股定理求出AM的長，也就得出了M的坐標，然后用待定系數法求出CM所在直線的解析式．
（3）（1）中已經求得了OB′的長，也就是G的橫坐標，然后代入CM所在直線的解析式中求出G點的坐標，然后代入拋物線的解析式中求出m的值，即可得出拋物線的解析式．根據拋物線和圓的對稱性可得出拋物線與圓的另外一個交點就應該是G關于y軸的對稱點．

解答：解：（1）∵△CB'M≌△CBM
∴CB'=CB=OA=10
∴OB'=

OA2-OC2

=

102-62

=8
∴B'（8，0）；

（2）設AM=n，則MB'=BM=6-n
AB'=10-8=2
∴n²+2²=（6-n）²
解得n=

8

3

．
∴M（10，

8

3

）、C（0，6）
設直線CM解析式為y=kx+b
∴

8 3 =10k+b 6=b

解得

k=- 1 3 b=6

∴直線CM的解析式為y=-

1

3

x+6；

（3）設G（8，a）
∴a=-

1

3

×8+6=

10

3

∴G（8，

10

3

）
∴

10

3

=

1

6

×82+m
∴m=-

22

3

∴y=

1

6

x²-

22

3

除交點G外，另有交點為點G關于y軸的對稱點．
其坐標為（-8，

10

3

）．

點評：本題主要考查了折疊的性質，矩形的性質，一次函數的應用，以及用待定系數法求二次函數解析式等知識點．