Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且線段OA、OC（OA＞OC）是方程x²-18x+80=0的兩根，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)D處．
（1）求線段OA、OC的長(zhǎng)；
（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)及折痕CE的長(zhǎng)；
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線l，使直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出其解析式并畫(huà)出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用式子相乘法把方程左邊分解為兩一次因式積的形式，然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩數(shù)中至少有一個(gè)為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別求出方程的解得到原方程的解，根據(jù)OA大于OC，即可得到OA及OC的長(zhǎng)；
（2）由折疊可知三角形EBC與三角形EDC全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EB=ED，CB=CD，又矩形ABCD對(duì)邊相等，從而得到CD的長(zhǎng)，再由OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)，在直角三角形AED中，設(shè)EA=x，則DE=8-x，再由AD的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到AE的長(zhǎng)，即為E的縱坐標(biāo)，而OA的長(zhǎng)即為E的橫坐標(biāo)，確定出E的坐標(biāo)，同時(shí)得到BE的長(zhǎng)，再由BC的長(zhǎng)，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出折痕CE的長(zhǎng)；
（3）存在，應(yīng)該有兩條如圖：
①直線BF，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出兩三角形相似，那么可根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出此直線的解析式．
②直線DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根據(jù)∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的長(zhǎng)求出ON的值，即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)N、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線DN的解析式．

解答：解：（1）方程x²-18x+80=0，
因式分解得：（x-8）（x-10）=0，
即x-8=0或x-10=0，
解得：x₁=8，x₂=10，
∴OA=10，OC=8；

（2）由折疊可知：△EBC≌△EDC，∴EB=ED，
∴CB=CD，又矩形OABC，∴AB=OC=8，
∴CB=CD=OA=10，又OC=8，
在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得：OD=

CD2-OC2

=6，
∴AD=OA-OD=10-6=4，
又BE+EA=AB=8，且EB=ED，
∴DE+EA=8，即DE=8-EA，
在Rt△AED中，設(shè)AE=x，則DE=8-x，又AD=4，
根據(jù)勾股定理得：（8-x）²=x²+16，
整理得：16x=48，
解得：x=3，
則E的坐標(biāo)為（10，3），又C（0，8），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，
將C與E坐標(biāo)代入得：

b=8 10k+b=3

，
解得：k=-

1

2

，b=8，
則直線CE解析式為y=-

1

2

x+8，
令y=0求出x=16，即P坐標(biāo)為（16，0）；
此時(shí)BE=BA-EA=8-3=5，又BC=OA=10，
在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得：
CE=

BE2+BC2

=5

5

；

（3）存在．滿足條件的直線l有2條：y=-2x+12，y=2x-12．
如圖2：準(zhǔn)確畫(huà)出兩條直線．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合了一元二次方程的解法，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，出現(xiàn)折疊問(wèn)題時(shí)，常常利用全等三角形的性質(zhì)及勾股定理來(lái)解決問(wèn)題，本題第三問(wèn)屬于探究存在性問(wèn)題，一般利用假設(shè)驗(yàn)證法，即先假設(shè)結(jié)論成立，看是否導(dǎo)致矛盾，還是達(dá)到與已知條件相符，從而確定探究的結(jié)論是否存在．