Question

如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D，E兩點的坐標；
（2）如圖2，若AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE平行線交DE于點N．求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數關系式；當t取何值時，s有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點M的坐標？

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進而可求出CE的長，也就得出了E點的坐標．
在直角三角形CDE中，CE長已經求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點的坐標．
（2）很顯然四邊形PMNE是個矩形，可用時間t表示出AP，PE的長，然后根據相似三角形APM和AED求出PM的長，進而可根據矩形的面積公式得出S，t的函數關系式，根據函數的性質即可得出S的最大值及對應的t的值．
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①ME=MA時，此時MP為三角形ADE的中位線，那么AP=

AE

2

，據此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點的橫坐標為A點橫坐標的一半，縱坐標為D點縱坐標的一半．由此可求出M的坐標．
②當MA=AE時，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據折疊的性質，此時AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標．

解答：解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．
BE=

AE2-AB2

=

52-42

=3．
∴CE=2．
∴E點坐標為（2，4）．
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，
又∵DE=OD．
∴（4-OD）²+2²=OD²．
解得：OD=

5

2

．
∴D點坐標為（0，

5

2

）．

（2）如圖②∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴

PM

ED

=

AP

AE

，
又知AP=t，ED=

5

2

，AE=5，
PM=

t

5

×

5

2

=

t

2

，
又∵PE=5-t．
而顯然四邊形PMNE為矩形．
S_矩形PMNE=PM•PE=

t

2

×（5-t）=-

1

2

t²+

5

2

t；
∴S_{四邊形PMNE}=-

1

2

（t-

5

2

）²+

25

8

，
又∵0＜

5

2

＜5．
∴當t=

5

2

時，S_矩形PMNE有最大值

25

8

．

（3）（i）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）
在Rt△AED中，ME=MA，
∵PM⊥AE，
∴P為AE的中點，
∴t=AP=

1

2

AE=

5

2

．
又∵PM∥ED，
∴M為AD的中點．
過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，
∴MF=

1

2

OD=

5

4

，OF=

1

2

OA=

5

2

，
∴當t=

5

2

時，（0＜

5

2

＜5），△AME為等腰三角形．
此時M點坐標為（

5

2

，

5

4

）．
（ii）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）
在Rt△AOD中，AD=

OD2+AO2

=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

．
過點M作MF⊥OA，垂足為F．
∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴

AP

AE

=

AM

AD

．
∴t=AP=

AM•AE

AD

=

5×5

5 5 2

=2

5

，
∴PM=

1

2

t=

5

．
∴MF=MP=

5

，OF=OA-AF=OA-AP=5-2

5

，
∴當t=2

5

時，（0＜2

5

＜5），此時M點坐標為（5-2

5

，

5

）．
綜合（i）（ii）可知，t=

5

2

或t=2

5

時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，
相應M點的坐標為（

5

2

，

5

4

）或（5-2

5

，

5

）．

點評：本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、圖形的翻折變換、相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用等知識點，綜合性較強．