Question

【題目】如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.點P從A點出發沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s.連結PO并延長交BC于點Q，設運動時間為t(0＜t＜5)．

(1)當t為何值時，四邊形ABQP是平行四邊形？

(2)設四邊形OQCD的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數關系式；

(3)是否存在某一時刻t，使點O在線段AP的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

　　備用圖

Answer 1

【答案】（1）當t＝時，四邊形ABQP是平行四邊形（2）y＝t＋3（3）存在，當t＝時，點O在線段AP的垂直平分線上

【解析】

（1）根據ASA證明△APO≌△CQO，再根據全等三角形的性質得出AP＝CQ＝t，則BQ＝5－t，再根據平行四邊形的判定定理可知當AP∥BQ，AP＝BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，即t＝5－t，求出t的值即可求解；

（2）過A作AH⊥BC于點H，過O作OG⊥BC于點G，根據勾股定理求出AC＝4，由Rt△ABC的面積計算可求得AH＝，利用三角形中位線定理可得OG=，再根據四邊形OQCD的面積y= S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，代入數值計算即可得y與t之間的函數關系式；

（3）如圖2，若OE是AP的垂直平分線，可得AE＝AP＝，∠AEO＝90°，根據勾股定理可得AE2＋OE2＝AO2，由(2)知：AO＝2，OE＝，列出關于t的方程，解方程即可求出t的值.

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，AD∥BC，

∴∠PAO＝∠QCO.

又∵∠AOP＝∠COQ，

∴△APO≌△CQO，

∴AP＝CQ＝t.

∵BC＝5，

∴BQ＝5－t.

∵AP∥BQ，

當AP＝BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，

即t＝5－t，∴t＝，

∴當t＝時，四邊形ABQP是平行四邊形；

(2) 圖1

如圖1，過A作AH⊥BC于點H，過O作OG⊥BC于點G.

在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，

∴CO＝AC＝2，

S△ABC＝AB·AC＝BC·AH，

∴3×4＝5AH，

∴AH＝.

∵AH∥OG，OA＝OC，

∴GH＝CG，

∴OG＝AH＝，

∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，

∴y＝×2×3＋×t×＝t＋3；

　圖2

(3)存在．

如圖2，∵OE是AP的垂直平分線，

∴AE＝AP＝，∠AEO＝90°，

由(2)知：AO＝2，OE＝，

由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2，

∴(t)2＋()2＝22，

∴t＝或－ (舍去)，

∴當t＝時，點O在線段AP的垂直平分線上．

故答案為：（1）當t＝時，四邊形ABQP是平行四邊形（2）y＝t＋3（3）存在，當t＝時，點O在線段AP的垂直平分線上.