Question

【題目】在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題．

如圖（1），要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

你可以在l上找幾個點試一試，能發現什么規律？你可以在上找幾個點試一試，能發現什么規律？

聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線（圖（2）），問題就轉化為，要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小．他的做法是這樣的：

①作點B關于直線l的對稱點B′．

②連接AB′交直線l于點P，則點P為所求．

請你參考小華的做法解決下列問題．如圖在△ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使△PDE得周長最小．

（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（2）請直接寫出△PDE周長的最小值：

．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）8

【解析】

（1）根據提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關于BC的對稱點D′，連接D′E，與BC交于點P，P點即為所求．

（2）利用中位線性質以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：

解：（1）作D點關于BC的對稱點D′，連接D′E，與BC交于點P，P點即為所求．

（2）∵點D、E分別是AB、AC邊的中點，

∴DE為△ABC中位線．

∵BC=6，BC邊上的高為4，

∴DE=3，DD′=4．

∴．

∴△PDE周長的最小值為：DE+D′E=3＋5=8．