Question

【題目】如圖1，已知點A（8，4），點B（0，4），線段CD的長為3，點C與原點O重合，點D在x軸正半軸上．線段CD沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，過點D作x軸的垂線交線段AB于點E，交OA于點G，連接CE交OA于點F（如圖2），設運動時間為t．當E點與A點重合時停止運動．

（1）求線段CE的長；

（2）記△CDE與△ABO公共部分的面積為S，求S關于t的函數關系式；

（3）如圖2，連接DF．

①當t取何值時，以C、F、D為頂點的三角形為等腰三角形？

②△CDF的外接圓能否與OA相切？如果能，直接寫出此時t的值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）S= (5－t )2（0≤t≤5）；（3）①t＝3或 或 時，△CDF為等腰三角形；②能 t＝.

【解析】分析：(1)、根據Rt△CDE的勾股定理求出CE的長度；(2)、作FH⊥CD于H，根據題意得出△OCF∽△AEF和△ODG∽△AEG，得出和的采購員CF和EG的長度，然后根據FH∥ED得出 ，從而求出HD的長度，最后根據S＝ EG·HD得出函數解析式；(3)、根據CF＝CD、CF＝DF和DF＝CD三種情況分別求出t的值；作FH⊥CD于H得出△FCH∽△ECD，從而得出，然后求出，，，根據切割線定理得出OF2=OCOD，從而得出t的值．

詳解：（1）在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝4， ∴CE＝＝5，

（2）作FH⊥CD于H，∵AB∥OD，∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，

∴，， 又∵CF＋EF＝5，DG＋EG＝4，∴CF＝t，EG＝，∵FH∥ED，∴ ，∴HD＝·CD＝ (5－t )

∴S＝ EG·HD＝×× (5－t )＝ (5－t )2（0≤t≤5）

（3）①由（2）知CF＝t,（i）當CF＝CD時，則t＝3,（ii）當CF＝DF時，則CH＝ CD,

∵FH∥ED，∴CF＝ CE＝ ，∴t＝；

（iii）當DF＝CD時,作DK⊥CF于K，則CK＝CF＝t，

∵CK＝CD·cos∠ECD，∴t＝3×，∴t＝；

綜上，當t＝3或 或 時，△CDF為等腰三角形；

②能 t＝作FH⊥CD于H，則△FCH∽△ECD，∴，即，

∴，，，

若△CDF的外接圓與OA相切，則F點為切點， 由切割線定理，得：OF2=OCOD，

∴， 解得t＝