Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（﹣1，0），B（2，3）；（2）△ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）；（3）或1．

【解析】

試題分析：（1）當k=1時，聯立拋物線與直線的解析式，解方程求得點A、B的坐標；

（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值及點P的坐標；

（3）“存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，由圓周角定理可證，此時∠OQC=90°且點Q為唯一．以此為基礎，構造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值，注意另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點，此時亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°．

試題解析：解：（1）當k=1時，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．

聯立兩個解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

當x=﹣1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）設P（x，x2﹣1）．

如答圖2所示，過點P作PF∥y軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=，

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+

當x=時，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）．

（3）設直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，

則E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

Ⅰ、假設存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，

則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，根據圓周角定理，此時∠OQC=90°．

設點N為OC中點，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．

∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴，即：，

解得：k=±，

∵k＞0，

∴k=．

∴存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=．

Ⅱ、若直線AB過點C時，此時直線與圓的交點只有另一點Q點，故亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，

將C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=-1（舍去），

故亦存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=1．

綜上所述，k=或1時，存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°．

考點：二次函數綜合題；一次函數的圖象與性質；直線與圓的位置關系．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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