Question

（本題10分）如圖1，梯形ABCD中AB∥CD，且AB=2CD，點P為BD的中點，直線AP交BC于E，交DC的延長線于F．

（1）求證：DC=CF；

（2）求的值；

（3）如圖2，連接DE，若AD⊥ED，求證：BAE=DBE．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）3；（3）證明詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據條件可以得到△ABP≌△FPD，由全等三角形的性質就可以得出結論；

（2）由CF∥AB，得到AE=2EF，又由（1）得AP=PF，進而AP=3PE，即可得到AP與PE的比值；

（3）延長AD交BC的延長線于M，證明△EBP≌△EFC，應用全等三角形的性質得到等角．

試題解析：（1）由AB∥CD得∠BAP=∠DFP，又BP=PD，∠APB=∠FPD，∴△ABP≌△FPD，∴AB=DF，即2DC=DC+CF，∴DC=CF；

（或由AB∥CD，∴△PAB∽△PFD，∴=1，即AB=DF）

（2）由CF∥AB，∴=2，∴AE=2EF，又由（1）得AP=PF，

∴AP+PE=2（PF-PE）=2（AP-PE），∴AP=3PE，∴=3；

（3）延長AD交BC的延長線于M，則由CD∥AB，且AB=2CD，可得AD=DM，BC=CM，又已知ED⊥AD，∴ED為AM的中垂線，AE=EM，可設EC=m，由（2）中，則BE=2m，CM=BC=3m，∴AE=EM=4m，∴AP=3m，EF=2m，∴△EBP≌△EFC，∴∠PBE=∠F=∠BAE．

（或可設EC=m，由（2）中，則BE=2m，CM=BC=3m，∴AE=EM=4m，∴AP=3m，EP=m，即EB2=EP·EA,∴△EBP∽△EAB，∴∠PBE =∠BAE）

考點：全等三角形的判定和性質；相似三角形的判定和性質．

考點分析： 考點1：四邊形 四邊形：四邊形的初中數學中考中的重點內容之一，分值一般為10-14分，題型以選擇，填空，解答證明或融合在綜合題目中為主，難易度為中。主要考察內容：①多邊形的內角和，外角和等問題②圖形的鑲嵌問題③平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性質和判定。突破方法：①掌握多邊形，四邊形的性質和判定方法。熟記各項公式。②注意利用四邊形的性質進行有關四邊形的證明。③注意開放性題目的解答，多種情況分析。 試題屬性

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