Question

【題目】如圖1，拋物線與y＝﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC、BC，點D是線段AB上一點，且AD＝CA，連接CD．

（1）如圖2，點P是直線BC上方拋物線上的一動點，在線段BC上有一動點Q，連接PC、PD、PQ，當△PCD面積最大時，求PQ+CQ的最小值；

（2）將過點D的直線繞點D旋轉，設旋轉中的直線l分別與直線AC、直線CO交于點M、N，當△CMN為等腰三角形時，直接寫出CM的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）CM的長為或或．

【解析】

（1）設點P坐標，表示出△PCD的面積，列出二次函數關系式，求出△PCD面積最大時的點P坐標，作PG⊥CD，PG即為PQ+CQ；
（2）等腰三角形分類討論，分別以C、N和M為等腰頂點分別討論，求出此時的點M坐標，獲得CM線段長．

解：（1）當y＝0時，，

解得：x1＝﹣3，x2＝4，

∴A（﹣3，0），B（4，0），

∵x＝0時，y＝4，

∴C （0，4），

設OD＝m，則AD＝m+3，

在Rt△AOC中，有AC2＝AO2+OC2，

∴（m+3）2＝32+42，

解得：m1＝2，m＝2﹣8

∴D（2，0），

如圖1，設點P（m，n），

S△PCD＝S△PCO+S△POD﹣S△COD

＝

=

=

＝；

∵a＝﹣＜0，則面積有最大值，

∴m＝時，有最大值，

∴P（，）；

如圖2，過點D作DH⊥CB，△DHB為等腰直角三角形，則DB＝2，

∴DH＝BH＝，

∵BC＝，

∴CH＝，

∴tan∠DCH＝.

過點P作PG⊥CD交BC于Q，則PG＝PQ+CQ，

∴CD直線解析式為：y＝﹣2x+4；

設G（m，﹣2m+4），

作GM⊥CO，PN⊥GM，垂足分別為M、N，可知△CMG∽△PGN，

∴，

∴，

解得：，

∵△CDO∽△GPN，

∴，

∴GP＝，

∴PQ+CQ的最小值為；

（2）如圖3，過點M1作M1H⊥AB，

設直線L解析式為y＝kx+b，

將（2，0）代入得：b＝﹣2k，

∴y＝kx﹣2k

①當CM1＝CN1

∴ON1＝﹣2k，CN1＝4+2k，AM1＝1﹣2k

∵△AM1H∽△AOC

∴，

∴，

∴AH＝（1﹣2k），M1H＝，

∴M1（，），

代入y＝kx﹣2k得

＝k（）﹣2k

解得k1＝﹣2，k2＝，

∴CM＝4+2k＝；

②當CN2＝MN2時，如圖4

過A作AP∥BD，設AP直線解析式為y＝kx+b，

將點A代入，﹣3k+b＝0，

∴b＝3k，

∴AP＝＝，

∴CO＝+3k＝4

∴k＝，

∴DM直線解析式為：，

聯立，解得

∴CM＝；

③當M3C＝M3N3時，如圖5：

在x正半軸上取點Q（3，0），

∴CQ解析式為，

過點D作DM3∥CQ，

∴DM3的解析式為，

聯立，

解得，

∴M3（，），

∴CM3＝；

綜上所述：CM的長為：或或．