Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點，分別連接AC、CD、AD．

（1）求拋物線的函數解析式以及頂點D的坐標；

（2）在拋物線上取一點P（不與點C重合）、并分別連接PA、PD，當△PAD的面積與△ACD的面積相等時，求點P的坐標：

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點D的坐標為（1，4）；（2）點P的坐標為（，2+1），（﹣，﹣2+1）．

【解析】

（1）根據拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，可以求得該拋物線的解析式，然后化為頂點式即可求得頂點D的坐標；

（2）根據題意，作出合適的輔助線，利用平移的性質即可求得點P的坐標．

解：（1）設拋物線的函數解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），

∵y＝ax2+bx+3，

∴﹣3a＝3，得a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

即該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，頂點D的坐標為（1，4）；

（2）∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，與y軸交于點C，

∴點C的坐標為（0，3），

設過點A（﹣1，0）和點D（1，4）的直線解析式為y＝kx+m，

，得 ，

即直線AD的函數解析式為y＝2x+2，

設直線AD與y軸交于點E，則點E的坐標為（0，2），

則CE＝OC﹣OE＝3﹣2＝1，

過點C作直線l1∥AD，則直線l1的解析式為y＝2x+3，

令﹣x2+2x+3＝2x+3，得x1＝x2＝0，

即拋物線與直線l1只有一個交點為（0，3），在直線AD上方的拋物線上不存在△PAD的面積與△ACD的面積相等的點P；

將直線AD沿y軸向下平移一個單位長度得到直線l2，則直線l2的解析式為y＝2x+1，

令﹣x2+2x+3＝2x+1，得x3＝，x4＝﹣，

則點P1為（，2+1），點P2為（﹣，﹣2+1），

即點P的坐標為（，2+1），（﹣，﹣2+1）．