Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點O．
（1）證明：四邊形ADCE為菱形；
（2）證明：DE=BC．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，即可得出四邊形ADCE為菱形；
（2）由菱形的性質得出AC⊥DE，證出DE∥BC，再由CE∥AB，證出四邊形BCED是平行四邊形，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴四邊形ADCE為菱形；
（2）證明：∵四邊形ADCE為菱形，
∴AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥BC，
又∵CE∥AB，
∴四邊形BCED是平行四邊形，
∴DE=BC．

點評 本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質；熟練掌握菱形的判定與性質，證明四邊形BCED是平行四邊形是解決問題（2）的關鍵．