Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠B．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線
（2）若∠D=60°，AB=6時，求劣弧的長（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∵∠EAC=∠B，

∴∠CAE+∠BAC=90°，

即 BA⊥AE．

∴AE是⊙O的切線．

（2）

解：連接CO，

∵AB=6，

∴AO=3，

∵∠D=60°，

∴∠AOC=120°，

∴==2π．

【解析】（1）根據圓周角定理可得∠ACB=90°，進而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，從而可得直線AE是⊙O的切線；
（2）連接CO，計算出AO長，再利用圓周角定理可得∠AOC的度數，然后利用弧長公式可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對弧長計算公式的理解，了解若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的．