Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，若CD＝5，以D為圓心，DC長為半徑作⊙D交CA的延長線于E，過D作DF⊥AC，垂足為F，且DF＝3．

（1）求證：BC是⊙D的切線；

（2）求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是矩形得∠BCD＝90°，即可證明；

（2）先求出EF長，再證明△ADF∽△DCF，然后根據相似比求出AF，從而求出AE長.

解：（1）∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

∴BC⊥CD，

∴BC是⊙D的切線；

（2）∵DF⊥AC，即DF⊥CE，

∴EF＝FC，

∵CD＝5，DF＝3，

∴CF＝=4，

∴EF＝4，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADF＝DCF，

∴△ADF∽△DCF，

∴，

∴，

∴AF＝，

∴AE＝4-=．