Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，如果點P從點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s，連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當t為何值時，PQ∥BC；

（2）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）當t=秒，PQ∥BC；（2）不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；（3）當四邊形PQP'C為菱形時，t的值為秒．

【解析】

（1）先根據勾股定理求得AB＝5，由運動知，BP＝t，得出AP＝5﹣t，AQ＝t，再得出，代入建立方程即可得出結論；

（2）先求出S△AQPS△ABC，再求出S△ABC＝6，進而的粗S△AQP＝3，再表示出PG（5﹣t），利用S△AQPt2t＝3，建立方程，即可得出結論；

（3）先判斷出PE⊥AC，QE＝EC，再判斷出△APE∽△ABC，進而得出AEt+4，QE＝AE﹣AQt+4，建立方程即可得出結論．

在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根據勾股定理得：AB＝5，

由運動知，BP＝t，

∴AP＝5﹣t，AQ＝t．

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

∴t，

∴當t秒，PQ∥BC；

（2）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，

∴S△AQPS△ABC．

∵S△ABCACBC＝6，

∴S△AQP＝3，過點P作PG⊥AC于G．

∵PG∥BC，

∴，

∴，

∴PG（5﹣t），

∴S△AQPAQPGt（5﹣t）t2t，

∴t2t＝3，即：t2﹣5t+10=0．

∵△＝25﹣40＝﹣15＜0，

∴此方程無實數根，

∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；

（3）如圖乙．連接PP'，PP'交QC于E，當四邊形PQP'C為菱形時，PE垂直平分QC，即：PE⊥AC，QE＝EC．

∵∠ACB=90°，

∴PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

∴，

∴AEt+4，QE＝AE﹣AQt+4﹣tt+4，

∴t+4t+2，

∴t．

∵04，

∴當四邊形PQP'C為菱形時，t的值為秒．