Question

【題目】如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，6），點P從點O出發，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A出發，同時點Q從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點P與點A重合時運動停止．設運動時間為t秒．

（1）當t＝2時，線段PQ的中點坐標為　 　．

（2）當△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；

（3）連接OB，若以PQ為直徑作⊙M，則在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得⊙M與OB相切，若存在，求出時間t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）t的值為或；（3）在運動過程中，存在某一時刻t，使得⊙M與OB相切，此時t的值為 ．

【解析】

（1）根據點P，Q的運動速度找出當t＝2時，點P，Q的坐標，再利用中點坐標公式即可求出此時線段PQ的中點坐標；

（2）根據點P，Q的運動速度找出運動時間為t秒時，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出當時，△CBQ與△PAQ相似，代入各線段的值即可求出t值；

（3）找出當運動時間為t（0≤t≤3）秒時點M的坐標，進而可得出點M在直線y＝2x﹣3上，設直線y＝2x﹣3與x軸交于點E，與線段AB交于點F，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點F的坐標，由矩形的性質結合點A，C的坐標可得出點B的坐標，進而可得出直線OB的解析式，結合直線EF的解析式可得出EF∥OB，過點A作AD⊥OB于點D，AD交直線EF于點M，則點M為線段AD的中點，此時⊙M與OB相切．由直線OB的解析式、AD⊥OB結合點A的坐標可得出直線AD的解析式，聯立直線AD，EF的解析式成方程組，通過解方程組可求出M的坐標，由點M的縱坐標可得出t的值，此題得解．

解：（1）當t＝2時，點P的坐標為（2，0），點Q的坐標為（3，4），

∴線段PQ的中點坐標為（），即（，2）．

故答案為：（，2）．

（2）當運動時間為t（0≤t≤3）秒時，點P的坐標為（t，0），點Q的坐標為（3，2t），

∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．

∵∠B＝∠A＝90°，

∴當時，△CBQ與△PAQ相似．

當時，，

解得：t1＝，t2＝（不合題意，舍去）；

當時，，

解得：t＝．

綜上所述：t的值為或．

（3）當運動時間為t（0≤t≤3）秒時，點P的坐標為（t，0），點Q的坐標為（3，2t），

∴點M的坐標為（，t）．

∵t＝×2﹣3，

∴點M在直線y＝2x﹣3上．

設直線y＝2x﹣3與x軸交于點E，與線段AB交于點F，則點F的坐標為（3，3），

∴點F為線段AB的中點．

∵四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，6），

∴點B的坐標為（3，6），

∴直線OB的解析式為y＝2x，

∴直線OB∥直線EF．

過點A作AD⊥OB于點D，AD交直線EF于點M，如圖所示．

∵直線OB∥直線EF，

∴MF為△ABD的中位線，

∴點M為線段AD的中點，

∴此時⊙M與OB相切．

∵AD⊥OB，點A的坐標為（3，0），

∴直線AD的解析式為y＝﹣（x﹣3），即y＝﹣x+．

聯立直線AD，EF的解析式成方程組，得：

，解得： ，

∴點M的坐標為（，），

∴t＝，

∴在運動過程中，存在某一時刻t，使得⊙M與OB相切，此時t的值為．