Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣2，2），點B的坐標為（6，6），拋物線經過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點E．

（1）求點E的坐標；
（2）求拋物線的函數解析式；
（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點（點N在y軸右側），連接ON、BN，當點F在線段OB上運動時，求△BON面積的最大值，并求出此時點N的坐標；
（4）連接AN，當△BON面積最大時，在坐標平面內求使得△BOP與△OAN相似（點B、O、P分別與點O、A、N對應）的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線AB解析式為y=kx+b，

將A（﹣2，2），B（6，6）代入，得 ，解得 ，

∴y= x+3，令x=0，

∴E（0，3）

（2）

解：設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

將A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三點坐標代入，得 ，解得 ，

∴y= x2﹣ x

（3）

解：依題意，得直線OB的解析式為y=x，設過N點且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，

聯立 ，得x2﹣6x﹣4m=0，當△=36+16m=0時，過N點與OB平行的直線與拋物線有唯一的公共點，則點N到BO的距離最大，所以△BON面積最大，

解得m=﹣ ，x=3，y= ，即N（3， ）；

此時△BON面積= ×6×6﹣ （ +6）×3﹣ × ×3=

（4）

解：過點A作AS⊥GQ于S，

∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3， ），

∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，

OG=3，NG= ，NS= ，AS=5，

在Rt△SAN和Rt△NOG中，

∴tan∠SAN=tan∠NOG= ，

∴∠SAN=∠NOG，

∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，

∴∠OAN=∠NOB，

∴ON的延長線上存在一點P，使得△BOP∽△OAN，

∵A（﹣2，2），N（3， ），

∵△BOP與△OAN相似（點B、O、P分別與點O、A、N對應），即△BOP∽△OAN，

∴BO：OA=OP：AN=BP：ON

又∵A（﹣2，2），N（3， ），B（6，6），

∴BO=6 ，OA=2 ，AN= ，ON= ，

∴OP= ，BP= ，

設P點坐標為（4x，x），

∴16x2+x2=（ ）2，

解得x= ，4x=15，

∵P、P′關于直線y=x軸對稱，

∴P點坐標為（15， ）或（ ，15）．

【解析】（1）根據A、B兩點坐標求直線AB的解析式，令x=0，可求E點坐標；（2）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三點坐標代入，列方程組求a、b、c的值即可；（3）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設過N點且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯立，得出關于x的一元二次方程，當△=0時，△BON面積最大，由此可求m的值及N點的坐標；（4）根據三角形相似的性質得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根據勾股定理分別計算出BO=6 ，OA=2 ，AN= ，ON= ，這樣可求出OP= ，BP= ，設P點坐標為（x，y），再利用勾股定理得到關于x，y的方程組，解方程組即可．