Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E是邊CD上的點，且CE＝4，過點E作CD的垂線，并在垂線上截取EF＝3，連接CF．將△CEF繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為a．

（1）問題發現

當a＝0°時，AF＝　 ，BE＝　 ，＝　 ；

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤a°＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．

（3）問題解決

當△CEF旋轉至A，E，F三點共線時，直接寫出線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）5，4，；（2）的大小無變化，理由見解析；（3）BE＝或BE＝．

【解析】

（1）根據勾股定理分別計算AF和BE的長可解答；

（2）如圖2，連接AC，證明△CEF∽△CBA，得，再證明△ACF∽△BCE，可解答；

（3）當△CEF旋轉至A，E，F三點共線時，存在兩種情況：連接AC，先計算AF的長，證明△ACF∽△BCE，列比例式可得BE的長．

（1）當a＝0°時，如圖1，過F作FG⊥AD，交AD的延長線于G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，

∵∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，

∴四邊形DEFG是矩形，

∴DG＝EF＝3，

∴AG＝8+3＝11，

∵CE＝4，CD＝6，

∴FG＝DE＝6﹣4＝2，

Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝，

Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝，

∴，

故答案為，，；

（2）的大小無變化，理由如下：如圖2，連接AC，

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，

∴，，

∴，

∵∠CEF＝∠ABC＝90°，

∴△CEF∽△CBA，

∴，∠ECF＝∠ACB，

∴，

∴∠ACF＝∠BCE，

∴△ACF∽△BCE，

∴，即的大小無變化；

（3）當△CEF旋轉至A，E，F三點共線時，存在兩種情況：

①如圖3，連接AC，

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝10，

Rt△CEF中，CE＝4，EF＝3，

∴CF＝5，

∴，，

∴，

∵∠FEC＝∠ABC，

∴△ABC∽△FEC，

∴∠ACB＝∠ECF，

∴∠BCE＝∠ACF，

∵，

∴△ACF∽△BCE，

∴，

Rt△AEC中，AE＝，

∴AF＝AE+EF＝+3，

∴BE＝；

②如圖4，連接AC，

同理得：△AFC∽△BEC，

∴，

AF＝AE﹣EF＝﹣3，

∴BE＝，

綜上，BE＝或BE＝．