Question

【題目】在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，連接并延長(zhǎng)，分別交、于點(diǎn)、．

（1）如圖1，若且，求菱形的面積；

（2）如圖2，求證：．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）連接，可得，進(jìn)而得、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)M是菱形的旋轉(zhuǎn)中心，可得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，MQ=NQ，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，BM=4，進(jìn)而即可求解；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及SAS，可證，在上取點(diǎn)，使，可證，再證，即可得到結(jié)論．

（1）連接，如圖1，

∵在菱形中，，

又∵，

∴、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)M是菱形的旋轉(zhuǎn)中心，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵CM=CN，

∴，MQ=NQ，

∵，

∴，

∴，

∵∠MBC=∠ABC=30°，

∴BM=4，

∴菱形=32；

（2）四邊形是菱形，

∴，，，，

∴，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

在上取點(diǎn)，使，如圖2，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴∠DHN=∠CQN，

∴，

∴，

∴．