Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F為BE上的一點，連接CF并延長交AB于點M，MN⊥CM交射線AD于點N．

（1）如圖1，當點F為BE中點時，求證：AM＝CE；

（2）如圖2，若＝3時，求的值；

（3）若＝n（n≥3）時，請直接寫出的值．（用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5；（3）

【解析】

（1）由F為BE的中點，可得BF＝EF，因為四邊形ABCD為矩形，可得∠BCE＝∠ABC＝90°，CF＝BF＝EF，∠FBC＝∠FCB，可推出△MBC≌△ECB，則可推導出AM＝CE．

（2）根據AB∥CD，可得＝3，設MB＝a，則EC＝DE＝3a，AB＝CD＝6a，根據＝3，可得BC＝AD＝2a，根據MN⊥CM，可推出△AMN∽△BCM，則可得，，推出AN＝，DN＝a，則＝5．

（3）同（2）的推導方法．

解：（1）∵F為BE的中點，

∴BF＝EF，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BCE＝∠ABC＝90°，

∴CF＝BF＝EF，

∴∠FBC＝∠FCB，

∵BC＝CB，

∴△MBC≌△ECB（AAS），

∴BM＝EC＝DE，

∵AB＝CD，

∴BM＝AM，

∴AM＝CE．

（2）∵AB∥CD，

∴＝3，

設MB＝a，則EC＝DE＝3a，

∴AB＝CD＝6a，

∵＝3，

∴BC＝AD＝2a，

∵MN⊥CM，

∴△AMN∽△BCM，

∴，

∴，

∴AN＝，

DN＝a，

∴＝5．

（3）∵AB∥CD，

∴＝n，

設MB＝a，則EC＝DE＝an，

∴AB＝CD＝2an，

∵＝n，

∴BC＝AD＝2a，

∵MN⊥CM，

∴△AMN∽△BCM，

∴，

∴，

∴AN＝，

DN＝

∴．