Question

已知關于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）判斷命題：“無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根”的真假，如果是真命題請給出證明：如果是假命題請舉一個反例．
（2）若m≠0，設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y=(x1+x2)2-x12•x22，當m的取值范圍滿足什么條件時，y≤2

m2

．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的定義知，二次項系數不為零．故m=0時，已知方程有一個實數根；
（2）根據根與實數的關系求得x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

；然后將其代入已知等式求得y的值；最后由不等式y≤2

m2

來求m的取值范圍．

解答：解：（1）此命題是假命題．例如，當m=0時，由已知方程得
-2x+2=0，
解得，x=1，即原方程有一個實數根；
故“無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根”是假命題；

（2）∵方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），且m≠0，
∴x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

，
∴y=(x1+x2)2-x12•x22=

5m+4

m

；
又∵y≤2

m2

，
∴2

m2

≤

5m+4

m

，即2|m|≤

5m+4

m

 ①，
①當m＞0時，由不等式①，得
2m²-5m-4≤0，
解得，0＜m≤

5+ 57

4

；
②當m＜0時，由不等式①，得
2m²+5m+4≥0，解得，
m∈R，且m≠0，
∴m＜0．
綜上可知0＜m≤

5+ 57

4

或m＜0時，y≤2

m2

．

點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系．解答該題時，需要牢記一元二次方程的定義．