Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．

(1)如圖1，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；

(2)如圖2，點M為拋物線上一點，點N在拋物線的對稱軸上，點K為平面內一點，當以點A、M、N、K為頂點的四邊形是正方形時，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或或或或．

【解析】

（1）△PDF的面積S＝×PG×（xF﹣xD）＝×（+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+，當x＝﹣時，S最大，即點P（﹣，）；GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH為最小值，即點G為所求，即可求解；

（2）分AM是正方形的邊、對角線兩種情況，每個情況分四個象限逐次求解即可．

解：（1）拋物線①，

拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，

則點A、B、C的坐標為：（﹣4，0）、（1，0）、（0，2），則點D（﹣2，1），

函數的對稱軸為x＝﹣，

將點B、D的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BD的表達式為：y＝﹣x+，

過點P作y軸的平行線交直線EF于點G，

設點P（x，），則點G（x，﹣x+），

△PDF的面積S＝×PG×（xF﹣xD）＝×（+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+

當x＝﹣時，S最大，即點P（﹣，）；

過點E作x軸的平行線交PG于點H，

直線BD的表達式為：y＝﹣x+②，

則tan∠EBA＝＝tan∠HEG，

GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH為最小值，即點G為所求，

聯立①②并解得：x＝﹣，故點E（﹣，），

則PG﹣EG的最小值PH：﹣＝；

（2）①當AM是正方形的邊時，

（Ⅰ）當點M在y軸左側時（N在下方），如圖2，

當點M在第二象限時，

過點A作y軸的平行線GH，過點M作MG⊥GH與點G，過點N作HN⊥GH于點H，

∵∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠HAN＝∠GMA，

∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），

∴GA＝NH＝4﹣＝，AH＝GM，

即=，解得：x＝，

當x＝時，則GM＝x﹣（﹣4）＝，

點yN＝﹣AH＝﹣GM＝，

故點N（﹣，）；

當x＝時，同理可得：點N（﹣，﹣）；

當點M在第三象限時，

同理可得：點N；

（Ⅱ）當點M在y軸右側時，

如圖3，M在第一象限時，

過點M作MH⊥x軸于點H，

設AH＝b，MH＝a，

同理可得：△AHM≌△MGN（AAS），

則點M（﹣4+b，b﹣），即a＝b﹣，

將點M的坐標代入①式并解得：b＝，a＝（a、b均舍去負值），

yN＝a+b＝，

故點N（﹣，），

同理當點M在第四象限時，點N（﹣，-）；

②當AM是正方形的對角線時，

當點M在y軸左側時，

過點M作MG垂直于函數對稱軸于點G，設函數對稱軸與x軸交于點H，

同理可得：△AHN≌△NGM（AAS），

設點N（﹣，m），則點M（﹣﹣m，+m），

將點M的坐標代入①式并解得：m＝或﹣（舍去），

故點N（﹣，）；

當點M在y軸右側時，

同理可得：點N（﹣，﹣）．

綜上，點N的坐標為：或或或或或或．