Question

【題目】已知拋物線y=-x2-mx+2m2（m＜0）與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側．

（1）求證：OB=2OA；

（2）若直線y=-x+2與拋物線只有一個公共點，求m的值．

（3）若點C與點O關于點A對稱，且以點C為圓心，CO為半徑的圓交拋物線于點D，求證：DO平分∠ADB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，直線y=-x+2與拋物線只有一個公共點；（3）見解析.

【解析】

（1）令y=0，代入y=-x2-mx+2m2，求出A(m，0)，B(-2m，0)，進而得OB=2OA；

（2）聯立，得x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，結合直線y=-x+2與拋物線只有一個公共點，得△=0，進而即可求解；

（3）以點C為圓心，CO為半徑的圓交拋物線于點D，交點有兩個，分兩種情況：①當D在x軸上方時，②當D在x軸下方時，分別求證，即可．

（1）∵拋物線y=-x2-mx+2m2（m＜0）與x軸交于A、B兩點，

∴關于x的方程-x2-mx+2m2=0有兩個不相等的實數根x1和x2，

解得：x1=m，x2=-2m，

∵點A在點B的左邊，且m＜0，

∴A(m，0)，B(-2m，0)，

∴OA=-m，OB=-2m，

∴OB=2OA；

（2）∵直線y=-x+2與拋物線只有一個公共點，

∴只有一組實數解，消y得：x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，

∴△=0，即（m-1）2-4×1×（2-2m2）=0，

整理得：9m2-2m-7=0，

解得：m1=1（不合題意舍去），．

∴當時，直線y=-x+2與拋物線只有一個公共點；

（3）以點C為圓心，CO為半徑的圓交拋物線于點D，交點有兩個，

∴CO=CD，

①當D在x軸上方時，如圖1，連接CD，

∵點C與點O關于點A對稱，

∴OC=2OA=2AC，

又由（1）得OB=2OA，

∴BC=2OC，

∴=，

∵∠DCA=∠BCD，

∴△DCA∽△BCD，

∴BD=2AD，

∵OB=2OA，

∴S△BOD=2S△AOD，

過O點分別作△BOD、△AOD的高ON，OM，

∴S△BOD=，S△AOD=

∴BDON=2ADOM，

∴ON=OM，

∴OD是∠ADB的平分線，即DO平分∠ADB；

②當D在x軸下方時，如圖2，

同理①，可得DO平分∠ADB．