Question

【題目】在圖1至圖3中，的直徑，切于點，，連接交于點，連接，是線段上一點，連接．

（1）如圖1，當點，的距離最小時，求的長；

（2）如圖2，若射線過圓心，交于點，，求的值；

（3）如圖3，作于點，連接，直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）的最小值為

【解析】

（1）連接，根據切線的性質和圓周角定理的推論可得,∠BDC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根據三角形的面積公式即可求出CD，根據垂線段最短可得當時，點，的距離最小，從而求出PD的長；

（2）連接，則，利用勾股定理即可求出AE，然后根據相似三角形的判定定理證出，列出比例式，根據正切的定義即可求出結論；

（3）以 為直徑作，則為的中點，利用勾股定理和圓的基本性質求出半徑DG，根據直徑所對的圓周角是直角可得點H一定在上，當點，，在一條直線上時，最小，利用勾股定理求出CG，即可求出結論．

解：（1）如圖1，連接，

切于點，BC為直徑

,∠BDC=90°

，，

．

由,

即,

解得，

當時，點，的距離最小，此時．

（2）如圖2，連接，則．

由（1）知，，

由，

得，

解得．

，

．

又，

，

．

．

（3）的最小值為．

如圖3，以 為直徑作，則為的中點，

BD=

∴，

，

∴點總在上，，

∴當點，，在一條直線上時，最小，

此時，，

，

即的最小值為．