Question

【題目】如圖，為⊙的內接三角形，為⊙的直徑，在線段上取點（不與端點重合），作，分別交、圓周于、，連接，已知．

（1）求證：為⊙的切線；

（2）已知，填空：

①當__________時，四邊形是菱形；

②若，當__________時，為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②．

【解析】

（1）連接,利用已知條件和圓的基本性質證明即可得到直線AG是⊙O的切線；

（2）①假設四邊形為菱形，易得△AOB為等邊三角形，可得∠ABC=120°，可得，即可得出答案；

②假設為等腰直角三角形，可得，可得：和都是等腰三角形，可證：四邊形為矩形，由，可得，可證，計算可得，即可得出答案．

證明：（1）如圖，連接，

即

為半徑，

為⊙的切線；

（2）答案為：；．提示如下：

①若四邊形為菱形，

，

又,

為等邊三角形，

，

,

；

②如圖所示，若為等腰直角三角形，

，

和都是等腰三角形，在等腰中，為斜邊中線，

，

，

四邊形為矩形，

，

,

，

,

．

故答案為：；．