Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
求證：（1）△ABC∽△CAD；
（2）△BCD是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由公共角∠CAD=∠BAC，以及AC=BC，AC²=AB•AD變形得比例，可證△ABC∽△CAD；
（2）由AC=BC，得∠B=∠A=36°，由（1）的結論得∠ACD=∠A=36°，再利用外角的性質，內角和定理分別求∠CDB，∠DCB即可．

解答：證明：（1）在△ABC和△CAD中，
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵AC²=AB•AD，∴

AC

AD

=

AB

AC

=

AB

BC

，
∴△ABC∽△CAD；

（2）在△ABC與△CAD中，∵AC=BC，∴∠A=∠B=36°，
∵△ABC∽△CAD，∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠CDB=72°，∠DCB=180°-36°-72°=72°，
∴△BDC是等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定．關鍵是由已知條件推出線段的相等關系，證明三角形相似．