Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，點與點關于軸對稱，點的坐標為，過點作軸的垂線交拋物線于點．

（1）求點、點、點的坐標；

（2）當點在線段上運動時，直線交于點，試探究當為何值時，四邊形是平行四邊形；

（3）在點的運動過程中，是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）當，四邊形是平行四邊形

（3）存在，點的坐標為， ，

【解析】

（1）根據函數解析式列方程即可；

（2）根據平行四邊形的判定，用含未知數的值表示QM的長度，從而可求解;

（3）設Q點的坐標為,分兩種情況討論：當時，由勾股定理可得：，當時，由勾股定理可得：，可解出的值.

（1）令，則，C點的坐標為（0,2）；

令，則 解得，點A為（-1,0）；點B為（4,0）

∴

（2）如圖1所示：

點C與點D關于軸對稱，點,設直線BD的解析式為，將代入得： 解得

∴直線BD的解析式為：

∵

∴當時，四邊形是平行四邊形

設Q點的坐標為 ，則

∴

解得 （不合題意，舍去）

∴當，四邊形是平行四邊形

（3）存在，設Q點的坐標為

∵是以BD為直角邊的直角三角形

∴當時，由勾股定理可得：

即

解得 （不合題意，舍去）

∴Q點的坐標為

當時，由勾股定理可得：

即

解得

Q點的坐標為

綜上所述：點的坐標為， ，.