Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，（點D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DC、AB的延長線相交于點E，且DE=12，AD=9，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵OC為⊙O半徑，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= =15，

∵OC∥AD，

∴△ECO∽△EDA，

∴ = ，

∴ = ，

解得：OC= ，

∴BE=AE﹣2OC=15﹣2× = ，

答：BE的長是

【解析】（1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據切線的判定判斷即可；（2）根據勾股定理求出AE，根據△ECO∽△EDA，得出比例式，求出圓的半徑，即可求出答案．