Question

如圖，正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上的一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于點N． (1)求證：MD＝MN． (2)若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB上的任一點”，其他條件不變，則結論“MD＝MN”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：取AD的中點P，連接PM，則． 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°， 　　∴∠PDM＋∠AMD＝90°， 　　∵DM⊥MN， 　　∴∠NMB＋∠AMD＝90°， 　　∴∠PDM＝∠BMN． 　　∵M為AB的中點， 　　∴， 　　∴DP＝MB，AP＝AM， 　　∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴∠DPM＝135°． 　　∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°， 　　∴∠MBN＝∠MBC＋∠CBN＝90°＋45°＝135°． 　　即∠DPM＝∠MBN， 　　∴△DPM≌△MBN，∴DM＝MN． 　　(2)解：結論仍然成立． 　　證明：在AD上截取AP＝MA，連接MP，則DP＝AD－AP， 　　BM＝AB－AM，∴DP＝MB． 　　同(1)可證， 　　∠PDM＝∠BMN，∠DPM＝∠MBN＝135°， 　　∴△DPM≌△MBN， 　　∴DM＝MN．