Question

【題目】如圖（1），AB=7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分別為 A、B，AC=5cm．點P 在線段 AB 上以 2cm/s 的速度由點 A 向點B 運動，同時，點 Q 在射線 BD 上運動．它們運 動的時間為 t（s）（當點 P 運動結束時，點 Q 運動隨之結束）．

（1）若點 Q 的運動速度與點 P 的運動速度相等，當 t=1 時，△ACP 與△BPQ 是否全等， 并判斷此時線段 PC 和線段 PQ 的位置關系，請分別說明理由；

（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB” 改為 “∠CAB=∠DBA=60°”，點 Q 的運動速 度為 x cm/s，其他條件不變，當點 P、Q 運動到某處時，有△ACP 與△BPQ 全等，求出相應的 x、t 的值．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由見解析；（2）t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s．

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，即可得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，即可得出結論；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，
理由如下：當t=1時，AP=BQ=2，
則BP=7-2=5，

∴BP=AC，

∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A=∠B=90°
在△ACP和△BPQ中，

，
∴△ACP≌△BPQ；

∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，可得：5=7-2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，可得：5=xt，2t=7-2t
解得：t=， x=5÷=，

故當t=1s，x=2cm/s或t=s，x=cm/s時，△ACP與△BPQ全等．