Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為10的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合）．

（Ⅰ）如圖1，若點Q是BC邊上一動點，與點P同時以相同的速度由C向B運動（與C、B不重合）．求證：BP＝AQ；

（Ⅱ）如圖2，若Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D，在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發生改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）不會改變．

【解析】

（Ⅰ）證明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解決問題．

（Ⅱ）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP＝BQ，

再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝AB，由等邊△ABC的邊長為10可得出DE＝5，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

（Ⅰ）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°，

∵AP＝CQ，

∴△BAP≌△ACQ（SAS），

∴BP＝AQ．

（Ⅱ）解：當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，

∵點P、Q速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQF，

∴在△APE和△BQF中，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE＝EF，

∵EB+AE＝BE+BF＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等邊△ABC的邊長為10，

∴DE＝5，

∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．