Question

【題目】模型發現：

同學們知道，三角形的兩邊之和大于第三邊，即如圖1，在△ABC中，AB+AC＞BC．對于圖1，若把點C看作是線段AB外一動點，且AB＝c，AC＝b，則線段BC的長會因為點C的位置的不同而發生變化．

因為AB、AC的長度固定，所以當∠BAC越大時，BC邊越長．

特別的，當點C位于　 　時，線段BC的長取得最大值，且最大值為　 　（用含b，c的式子表示）（直接填空）

模型應用：

點C為線段AB外一動點，且AB＝3，AC＝2，如圖2所示，分別以AC，BC為邊，作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接BD，AE．

（1）求證：BD＝AE．

（2）線段AE長的最大值為　 　．

模型拓展：

如圖3，在平面直角坐標系中，點A是y軸正半軸上的一動點，點B是x軸正半軸上的一動點，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，試求OC長的最大值．

Answer 1

【答案】模型發現：線段BA的延長線上；b+c；模型應用：（1）證明見解析；（2）5；模型拓展：9.

【解析】

模型發現：根據題意，可發現當點C位于線段BA的延長線上時，線段BC的長取得最大值，最大值為b+c；

模型應用：（1）根據等邊三角形的性質可得：CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，從而證出∠DCB＝∠ACE，然后利用SAS即可證出△DCB≌△ACE，從而證出BD＝AE；

（2）根據題意：當點D位于線段BA的延長線上時，線段BD的長取得最大值，并求出此時BD的最大值，然后根據（1）的結論即可求出AE的最大值；

模型拓展：取AB的中點G，連接OG、CG，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得：OG＝AG=AB＝4，然后根據勾股定理即可求出CG，然后由材料可知：當點O、G、C在同一條直線上時，OC最大，從而求出OC的最大值.

解：模型發現：當點C位于線段BA的延長線上時，線段BC的長取得最大值，最大值為b+c，

故答案為：線段BA的延長線上；b+c；

模型應用：（1）證明：∵△ACD、△BCE都是等邊三角形，

∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，

∴∠DCB＝∠ACE，

在△DCB和△ACE中，

，

∴△DCB≌△ACE（SAS）

∴BD＝AE；

（2）當點D位于線段BA的延長線上時，線段BD的長取得最大值，最大值為AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，

∵AE＝BD，

∴線段AE長的最大值為5，

故答案為：5；

模型拓展：取AB的中點G，連接OG、CG，

在Rt△AOB中，G為AB的中點，

∴OG＝AG=AB＝4，

在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，

當點O、G、C在同一條直線上時，OC最大，最大值為4+5＝9．