Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．不難發現，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化．如圖2，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點．若公共點的個數為4，則相對應的AP的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】＜AP＜或AP＝5．

【解析】

在Rt△ABC中，直接由勾股定理可求出AC，連接PF，則PF⊥CD，由AB⊥AC和四邊形ABCD是平行四邊形，得PF∥AC，可證明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的長，有兩種情況：①與邊AD、CD分別有兩個公共點；②⊙P過點A、C、D三點，可分別寫出結論．

解：∵平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，

∴BC＝AD＝10，

∵AB⊥AC，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，

如圖2所示，連接PF，

設AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P與邊CD相切于點F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x＝，

即AP＝；

當⊙P與BC相切時，設切點為G，如圖3，

∴SABCD＝×6×8×2＝10PG，

∴PG＝，

①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時，＜AP＜，即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4；

②⊙P過點A、C、D三點，如圖4，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4，此時AP＝5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝5，

故答案為：＜AP＜或AP＝5．