Question

【題目】如圖，射線AM上有一點B，AB＝6．點C是射線AM上異于B的一點，過C作CD⊥AM，且CD＝AC．過D點作DE⊥AD，交射線AM于E. 在射線CD取點F，使得CF＝CB，連接AF并延長，交DE于點G．設AC＝3x．

（1） 當C在B點右側時，求AD、DF的長．(用關于x的代數式表示)

（2）當x為何值時，△AFD是等腰三角形．

（3）若將△DFG沿FG翻折，恰使點D對應點落在射線AM上，連接，．此時x的值為 （直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1），；（2）△ADF為等腰三角形，x的取值可以是，，； （3）4或

【解析】

（1）由已知條件可得：CD=4x，根據勾股定理得：AD=5x，由AB=6且C在B點右側，可以依次表示BC、CF、DF的長；（2）分兩種情況：①當C在B點的右側時，AF=DF，②當C在線段AB上時，又分兩種情況：i）當CF＜CD時，如圖3，ii）當CF＞CD時，如圖4，由AF=DF，作等腰三角形的高線FN，由等腰三角形三線合一得：AN=ND=2.5x，利用同角的三角函數列比例式可求得x的值；（3）由翻折性質得到DG=，，從而證出，從而推出∠FAC=∠DAG，即AF平分∠DAC，過F作FN⊥AD于N，分兩種情況：當C在AB的延長線上時，當C在AB邊上時，根據可列出關于x的比例式，即可求解.

⑴∵CD＝AC，AC=3x，

∴CD=4x，

∵CD⊥AM，

∴∠ACD=90°，

由勾股定理得：AD=5x，

∵AB=6，C在B點右側，

∴BC=AC-AB=3x-6，

∵BC=FC=3x-6，

∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；

（2）分兩種情況：

①當C在B點的右側時，

∴AC＞AB，

∴F必在線段CD上，

∵∠ACD=90°，

∴∠AFD是鈍角，若△ADF為等腰三角形，只可能AF=DF，過F作FN⊥AD于N，如圖，

∴AN=ND=2.5x，

∴，

即，

解得，；

②當C在線段AB上時，同理可知若△ADF為等腰三角形，只可能AF=DF，

i）當CF＜CD時，過F作FN⊥AD于N，如圖，

x的取值可以是，，；

∵AB=6，AC=3x，

∴BC=CF=6-3x，

∴DF=4x-（6-3x）=7x-6，

∵，

∴，

解得；

ii）當CF＞CD時，如圖4，

BC=CF=6-3x，

∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x，

則6-7x=5x，x=，

綜上所述，x的取值可以是，，；

（3）∵△DFG沿FG翻折得到

∴DG=，

又∵AG=AG，

∴

∴∠FAC=∠DAG，

即AF平分∠DAC，

如圖， 當C在AB的延長線上時，過F作FN⊥AD于N， FN=FC=3x-6，DF=x+6，

，

解得：x=4；

當C在AB邊上時，如圖，

∵FN=FC=6-3x， DF=7x-6，

∴，

解得；

綜上所述，x的值是4或.