Question

【題目】如圖1，在ABCD中，AB=2，BC=6，∠D=60°，點E從B點出發沿著線段BC每秒1個單位長度的速度向C運動，同時點F從B點出發沿著射線BC每秒2單位長度的速度向C運動，以EF為邊在直線BC上方作等邊△EFG，設點E、F的運動時間為t秒，其中0＜t≤4．

（1）當t=　　　　秒時，點G落在線段AD上；

（2）如圖2，連接BG，試說明：無論t為何值，BG始終平分∠ABC；

（3）求△EFG與ABCD重疊部分面積y與t之間的函數關系式，當t取何值時，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）理由見解析；（3）y；當t時，y的最大值為：．

【解析】

（1）設等邊三角形的邊長為a，等邊△EFG的邊長為t，當點G落在線段AD上，即等邊△EFG的高等于ABCD的高.

（2）如圖1，△GEF為邊長為t的等邊三角形，BE=t=EF=GE，則∠GBE=∠EGB，即可求解；
（3）①當0＜t≤2時，重疊部分為△EFG，y=S△EFG=t2；②當2＜t≤3時，如圖2，重疊部分為四邊形HMEF，y=S△EFG-S△HMG=t2-（t-2）2=t-；③當3＜t≤4時，y=S△GEF-（S△GHM+S△MND+S△NCF），即可求解．

（1）設等邊三角形的邊長為a，則面積為：a2，

ABCD的高為ABsin∠ABC=ABsin∠D

等邊△EFG的邊長為t，則高為t

當點G落在線段AD上，t，解得：t=2．

故答案為：2；

（2）如圖1，△GEF為邊長為t的等邊三角形，

BE=t=EF=GE，則∠GBE=∠EGB，

∠GBE=60°=2∠GBE=2∠EGB，

故∠GBE=30°，而∠ABC=∠D=60°，

∠ABG=∠GBE=30°，

∴BG始終平分∠ABC；

（3）△EFG始終為邊長為t的等邊三角形，則S△EFGt2，

①當0＜t≤2時，重疊部分為△EFG，

y=S△EFGt2；

此時，當t=2時，y最大值為；

②當2＜t≤3時，如圖2，重疊部分為四邊形HMEF，

則△HMG為邊長為(t﹣2)的等邊三角形，

則y=S△EFG﹣S△HMGt2(t﹣2)2t；

當t=3時，y的最大值為：2；

③當3＜t≤4時，

△GMH、△MND、△FCN均為等邊三角形，

△GMH的邊長HG=GE﹣HE=GE﹣AB=t﹣2，

△FCN的邊長FC=EF﹣EC=t﹣(6﹣t)=2t﹣6，

△MND的邊長MN=MF﹣NF=2﹣(2t﹣6)=8﹣2t，

y=S△GEF﹣(S△GHM+S△MND+S△NCF)[t2﹣(t﹣2)2﹣(2t﹣6)2﹣(8﹣2t)2]=﹣2t2+15t﹣26，

當t時，y的最大值為：；

綜上，y；

當t時，y的最大值為：．