Question

【題目】如圖，拋物線l1：y1＝a(x+1)2+2與l2：y2＝﹣(x﹣2)2﹣1交于點B(1，﹣2)，且分別與y軸交于點D、E．過點B作x軸的平行線，交拋物線于點A、C，則以下結論：

①無論x取何值，y2總是負數；

②l2可由l1向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

③當﹣3＜x＜1時，隨著x的增大，y1﹣y2的值先增大后減小；

④四邊形AECD為正方形．

其中正確的是(　　)

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由非負數的性質，即可證得y2＝﹣(x﹣2)2﹣1≤-1＜0，可得無論x取何值，y2總是負數；

②由拋物線l1：y1＝a(x+1)2+2與l2：y2＝﹣(x﹣2)2﹣1交于點B（1，-2），可求得a的值，然后由拋物線的平移的性質，即可得l2可由l1向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

③由 y1- y2=-(x+1)2+2-[- (x﹣2)2﹣1]=-6x+6，可得隨著x的增大，y1- y2的值減小；

④首先求得點A，C，D，E的坐標，即可證得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可證得四邊形AECD為正方形．

解：①∵（x﹣2）2≥0，

∴﹣（x﹣2）2≤0，

∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，

∴無論x取何值，y2總是負數；

故①正確；

②∵拋物線l1：y1＝a（x+1）2+2與l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于點B（1，﹣2），

∴當x＝1時，y＝﹣2，

即﹣2＝a（1+1）2+2，

解得：a＝﹣1；

∴y1＝﹣（x+1）2+2，

∴l2可由l1向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

故②正確；

③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，

∴隨著x的增大，y1﹣y2的值減小；

故③錯誤；

④設AC與DE交于點F，

∵當y＝﹣2時，﹣（x+1）2+2＝﹣2，

解得：x＝﹣3或x＝1，

∴點A（﹣3，﹣2），

當y＝﹣2時，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，

解得：x＝3或x＝1，

∴點C（3，﹣2），

∴AF＝CF＝3，AC＝6，

當x＝0時，y1＝1，y2＝﹣5，

∴DE＝6，DF＝EF＝3，

∴四邊形AECD為平行四邊形，

∴AC＝DE，

∴四邊形AECD為矩形，

∵AC⊥DE，

∴四邊形AECD為正方形．

故④正確．

故選：C．