Question

已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）如圖情況下：a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系？
（2）如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)；
（3）在（2）的條件下，如果b=-4，AB=4

3

，求a、c的值．

Answer 1

分析：（1）此題較簡(jiǎn)單，根據(jù)A、B點(diǎn)的位置即可判斷出當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸，當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，函數(shù)圖象與y軸交于正半軸，即a、c同號(hào)．
（2）當(dāng)CO²=OA•OB時(shí)，可用c表示出OC，用a、c表示出OA•OB，代入上式即可求得a、c是否為倒數(shù)關(guān)系．
（3）此題可沿用（2）的思路，首先將b值代入拋物線的解析式中，可依據(jù)韋達(dá)定理表示出AB的長(zhǎng)，幾何a、c的倒數(shù)關(guān)系，即可求得a、c的值．

解答：解：（1）由圖可知：當(dāng)拋物線開(kāi)口向下，即a＜0時(shí)，c＜0；
當(dāng)拋物線開(kāi)口向上，即a＞0時(shí)，c＞0；
因此a、c同號(hào)．

（2）設(shè)A（m，0），B（n，0），
拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，令y=0，
得：ax²+bx+c=0，
故OA•OB=mn=

c

a

；
而OC²=c²，若OA•OB=OC²，
則：

c

a

=c²，
解得ac=1；
所以a、c互為倒數(shù)．

（3）由題意知：y=ax²-4x+

1

a

，
則：m+n=

4

a

，mn=

1

a2

；
若AB=4

3

，即AB²=48，
所以：（n-m）²=48，
即（m+n）²-4mn=48，

16

a2

-

4

a2

=48，
解得a=±

1

2

；
故c=

1

a

=±2；
因此a、c的值分別為：

1

2

、2或-

1

2

、-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系，難度適中．