Question

已知在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．
（1）當直線l：y=x+b與⊙O只有一個交點時，求b的值；
（2）當反比例函數y=

k

x

的圖象與⊙O有四個交點時，求k的取值范圍；
（3）試探究當n取不同的數值時，二次函數y=x²+n的圖象與⊙O交點個數情況．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件得出兩種符合要求的解析，利用等腰三角形的性質，分別求出即可；
（2）利用特殊點當反比例函數兩曲線與圓相切時，求出DF=OF，從而得出xy的值，進而得出取值范圍；
（3）根據當n＞1時，有0個交點；②當n=1時，有1個交點；③當-1＜n＜1時，有2個交點；④當n=-1時，有3個交點；
⑤當-1.25＜n＜-1時，有4個交點；⑥當n=-1.25時，⑦當n＜-1.25時，分別分析得出．

解答：解：（1）∵y=x+b與⊙O只有一個交點，
∴y=x+b與x軸，與y軸的交點坐標分別為：（±b，0），（0，±b），
∴△AOB為等腰直角三角形，CO=AC=BC=1，
∴b的值為：b=±

2

；

（2）∵反比例函數y=

k

x

的圖象與⊙O有四個交點，
∵當圖象與與⊙O有二個交點時，
曲線與圓相切，得出DF=OF=

2

2

，
∴xy=k=

1

2

，
∴-

1

2

＜k＜

1

2

(k≠0)；

（3）①當n＞1時，有0個交點；
②當n=1時，有1個交點；
③當-1＜n＜1時，有2個交點；
④當n=-1時，有3個交點；
⑤當-1.25＜n＜-1時，有4個交點；
⑥當n=-1.25時，有2個交點；
⑦當n＜-1.25時，有0個交點；
簡解：∵x²+y²=1而y=x²+n即x²=y-n，
代入得y-n+y²=1，即y²+y-n-1=0，
要使二次函數圖象與下半圓只有兩個交點，根據對稱性，y必須唯一，
∴△=4n+5=0，n=-

5

4

．

點評：此題主要考查了拋物線解析式的確定、以及反比例函數的性質和三角形面積的求法等重要知識點，此題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．