Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（1，0），經過原點的直線交線段AB于點C，過點C作OC的垂線與直線x=1相交于點P，設AC=t，點P的坐標為（1，y），
（1）求點C的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）求y與t之間的函數關系式和t的取值范圍；
（3）當△PBC為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先得出∠A=∠ABO=∠ABN=45°，進而得出AM=CM，CN=BN，即可表示出C點坐標；
（2）利用矩形的性質得出，OM=CN，進而得出△MCO≌△NCP，即可得出OC=CP，即可得出y與t之間的函數關系式；
（3）利用△PBC為等腰三角形分別當PB=PC時，以及當BP=BC時，求出即可．

解答：解：（1）過點C作MN∥OB，分別交y軸于點M，直線x=1于點N，
∵點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（1，0），即OA=OB，
∴∠A=∠ABO=∠ABN=45°，
∵CM⊥y軸，∴AM=CM，CN=BN，
∵AC=t，∴AM=MC=

2

2

t（1分），
∴MO=1-

2

2

t（1分），
∴點C的坐標為（

2

2

t，1-

2

2

t）（1分）；


（2）∵四邊形MOBN為矩形，
∴OM=BN，
∴OM=CN
∵∠MCO+∠NCP=90°，∠MCO+∠MOC=90°
∴∠NCP=∠MOC，
∴△MCO≌△NCP，
∴OC=CP
∴PN=

2

2

t，BN=1-

2

2

t，
∵點P的坐標為（1，y），
∴y=1-

2

2

t-

2

2

t，
∴y=1-

2

t，（0≤t＜

2

）；

（3）∵△PBC為等腰三角形B（1，0），C（

2 t

2

，1-

2 t

2

），P（1，1-

2

t），
當PB=PC時，
（

2

t-1）²=（

2 t

2

-1）²+（1-

2 t

2

-1+

2

t）²．
解得t=0，
故點P的坐標為（1，1）；（2分）
當BP=BC時，即（

2

t-1）²=（1-

2 t

2

）²+（

2 t

2

-1）²．
解得t=1，
故點P的坐標為（1，1-

2

）（2分）

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及矩形的性質以及一次函數的綜合應用等知識，（3）中要根據P點的不同位置進行分類求解是解決問題的關鍵．