Question

【題目】如圖 1，直線分別交于點(點在點的右側)，若

（1）求證:；

（2）如圖2所示，點在之間，且位于的異側，連， 若，則三個角之間存在何種數量關系，并說明理由．

（3）如圖 3 所示,點在線段上，點在直線的下方，點是直線上一點（在的左側），連接,若,則請直接寫出與之間的數量

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2），理由見解析；（3）∠N+∠PMH=180°.

【解析】

（1）根據同旁內角互補，兩直線平行即可判定AB∥CD；

（2）設∠N=，∠M=，∠AEM=，∠NFD=，過M作MP∥AB，過N作NQ∥AB可得∠PMN=-，∠QNM=-，根據平行線性質得到-=-，化簡即可得到；

（3）過點M作MI∥AB交PN于O，過點N作NQ∥CD交PN于R，根據平行線的性質可得∠BPM=∠PMI，由已知得到∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI及∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD，根據對頂角相等得到∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM，化簡得到∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，根據平行線的性質得到3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°及3∠RFM+∠FNH=180°，兩個等式相減即可得到∠RFM-∠PMI=∠FNP，將該等式代入∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，即得到∠FNP=180°-∠PMH，即∠N+∠PMH=180°.

（1）證明：∵∠1=∠BEF，

∴∠BEF+∠2=180°

∴AB∥CD.

（2）解：

設∠N=，∠M=，∠AEM=，∠NFD=

過M作MP∥AB，過N作NQ∥AB

∵，MP∥AB，NQ∥AB

∴MP∥NQ∥AB∥CD

∴∠EMP=，∠FNQ=

∴∠PMN=-，∠QNM=-

∴-=-

即=-

∴

故答案為

（3）解：∠N+∠PMH=180°

過點M作MI∥AB交PN于O，過點N作NQ∥CD交PN于R.

∵，MI∥AB，NQ∥CD

∴AB∥MI∥NQ∥CD

∴∠BPM=∠PMI

∵∠MPN=2∠MPB

∴∠MPN=2∠PMI

∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI

∵∠NFH=2∠HFD

∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD

∵∠RFN=∠HFD

∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM

∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF

即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF

∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH

∵3∠PMI+∠PNH=180°

∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°

∵3∠RFM+∠FNH=180°

∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0°

即∠RFM-∠PMI=∠FNP

∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH

∠FNP-2×∠FNP=180°-∠PMH

∠FNP=180°-∠PMH

即∠N+∠PMH=180°

故答案為∠N+∠PMH=180°