Question

【題目】已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E，F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．

（1）求證：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；
（3）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB′E′（如圖2），使點E落在CD邊上的點E′處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發生了變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，

∴∠ABF+∠CBF=90°，

∵AE⊥BF，

∴∠ABF+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF

（2）解：∵正方形面積為3，

∴AB= ，

在△BGE與△ABE中，

∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE，

∴ ，

又∵BE=1，

∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，

∴S△BGE= ×S△ABE= =

（3）解：沒有變化．

理由：∵AB= ，BE=1，

∴tan∠BAE= = ，∠BAE=30°，

∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE′=90°，AE′公共，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，

∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，

設BF與AE′的交點為H，

則∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，

∴△BAG≌△HAG（ASA），

∴S四邊形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．

∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化．

【解析】（1）利用正方形的性質和互為余角的性質可證出全等；（2）利用相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方可求出;（3）可借鑒（2）的思路方法構造出原來的三角形，通過轉化S四邊形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE，沒有發生變化.
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質和相似三角形的判定與性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．