Question

【題目】拋物線y=﹣ （x﹣1）2+3與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．

（1）如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；
（2）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數解析式；
②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把x=0代入拋物線得：y= ，

∴點A（0， ）．

拋物線的對稱軸為x=1，

∴OC=1

（2）

解：①如圖：B（1，3）

分別過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于點N，

∵PQ∥BC，

∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，

∴四邊形DMQN是矩形．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴DC=DE，∠CDM=∠EDN

即 ，

∴△CDM≌△EDN（AAS）

∴DM=DN，

∴矩形DMQN是正方形，

∴∠BQC=45°

∴CQ=CB=3

∴Q（4，0）

設BQ的解析式為：y=kx+b，

把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．

所以直線BQ的解析式為：y=﹣x+4．

②當點P在對稱軸右側，如圖：

過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于N，

∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN

∴△CDM∽△EDN

當∠DCE=30°， =

又DN=MQ

∴ =

∴ = ，BC=3，CQ=

∴Q（1+ ，0）

∴P1（1+ ， ）

當∠DCE=60°，點P2（1+3 ，﹣ ）．

當點P在對稱軸的左邊時，由對稱性知：

P3（1﹣ ， ），P4（1﹣3 ，﹣ ）

綜上所述：P1（1+ ， ），P2（1+3 ，﹣ ），P3（1﹣ ， ），P4（1﹣3 ，﹣ ）．

【解析】（1）把x=0代入拋物線求出y的值確定點A的坐標，求出拋物線的對稱軸得到OC的長．（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分別過點D作x軸和PQ的垂線，通過三角形全等得到∠DQO=45°，求出點Q的坐標，然后用待定系數法求出BQ的解析式．②分點P在對稱軸的左右兩邊討論，根據相似三角形先求出點Q的坐標，然后代入拋物線求出點P的坐標．