Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的周長為12，E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點，若AB＝x，四邊形EFGH的面積為y.

(1)請直接寫出y與x之間的函數關系式；

(2)根據(1)中的函數關系式，計算當x為何值時，y最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋3x；(2) 當x＝3時，y有最大值，為4.5.

【解析】（1）由矩形的周長為12，AB=x，結合矩形的性質可得BC=6-x，然后由E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點可得四邊形EFGH的面積是矩形面積的一半，從而列出函數關系式；

（2）由關系式為二次函數以及二次項系數小于0可得四邊形EFGH的面積有最大值，然后利用配方法將拋物線的解析式寫成頂點式，從而得到x取什么值時，y取得最大值，以及最大值是多少.

(1)∵矩形ABCD的周長為12，AB＝x，

∴BC＝×12－x＝6－x.

∵E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點，

∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，

即y＝－x2＋3x.

(2)y＝－x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，

∵a＝－＜0，

∴y有最大值，

當x＝3時，y有最大值，為4.5.