Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A（m，0），B（n，0），C（﹣1，2），且滿足式|m+2|+（m+n﹣2）2＝0．

（1）求出m，n的值．

（2）①在x軸的正半軸上存在一點M，使△COM的面積等于△ABC的面積的一半，求出點M的坐標；

②在坐標軸的其它位置是否存在點M，使△COM的面積等于△ABC的面積的一半仍然成立，若存在，請直接在所給的橫線上寫出符合條件的點M的坐標；

（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上一動點，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE，當點P運動時，的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣2，n=4；（2）①M的坐標為（3，0）；②點M的坐標為（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；（3）2．

【解析】

（1）根據非負數的性質列出方程組，解方程組即可；

（2）①根據三角形的面積公式計算即可；

②分點M在x、y軸上兩種情況計算；

（3）根據角平分線的定義、垂直的定義得到∠POF=∠BOF，設∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，結合圖形得到x=y，得到答案．

（1）由題意得：，解得：，∴m=﹣2，n=4；

（2）①設點M的坐標的坐標為（x，0），△ABC的面積6×2=6，由題意得：x×26，解得：x=3，△COM的面積等于△ABC的面積的一半時，點M的坐標為（3，0）；

②當點M在x軸上時，由①得：點M的坐標為（3，0）或（﹣3，0），當點M在y軸上時，設點M的坐標的坐標為（0，y），由題意得：|y|×16，解得：y=±6．

綜上所述：符合條件的點M的坐標為（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；

（3）2，不會改變．

∵OE平分∠AOP，∴∠EOP=∠AOE．

∵OF⊥OE，∴∠EOP+∠POF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠POF=∠BOF，設∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y．

∵CD⊥y軸，∴CD∥x軸，∴∠OPD=∠POB=2x，則∠POD=90°﹣2x．

∵∠EOF=90°，∴y+90°﹣2x+x=90°，解得：x=y，∴∠OPD=2∠DOE，即2．