Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A(4，0)，B(1，-3)兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1)求拋物線的表達式；

（2)點P是拋物線上一動點，當ΔABP的面積為3時，求出點P的坐標；

（3)若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，點R是坐標平面內一點，當以點C、M、N、R為頂點的四邊形為正方形時，請直接寫出此時點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－4x．（2）P點坐標為（，），（，），（2，-4），（3，-3）．（3）R點坐標為（4，-1）、（-2，-5）、（6，2）、（0，-2）．

【解析】

（1）把A、B兩點代入解析式即可求得

（2）設直線的解析式，代入點可得到y=x-4，通過點P作y軸的平行線，則可利用已知三角形的面積求解

（3）分類討論：①當M為直角頂點時，M在x軸下方時；②當M為直角頂點時，M在x軸上方時；③當N為直角頂點時，且N在x軸負半軸時；④當N為直角頂點時，且N在x軸正半軸時；⑤當C為直角頂點時，此種情況不存在

（1）∵拋物線y=ax2+bx過A(4，0)，B(1，-3)兩點，

∴，解得：，

即拋物線的解析式為：y=x2－4x．

（2）設直線AB的解析式為：y=kx+c，

將A(4，0)，B(1，-3)兩點代入得：

∴，解得：，

即直線AB的解析式為y=x-4，

過點P作PE∥y軸交直線AB于E，

則S△ABP=PE×（4-1）=PE，

∵S△ABP=3，

∴PE=3，即PE=2，

設P（m，m2-4m），則H（m，m-4），

∴m2-4m-（m-4）=2或m-4-（m2-4m）=2，

解得：m= 或m= 或m=2或m=3，

所以P點坐標為（，），（，），（2，-4），（3，-3）．

（3）當△CMN為等腰直角三角形時，可找到點R，使得以點C、M、N、R為頂點的四邊形為正方形．

①當M為直角頂點時，M在x軸下方時，

易證△MNH≌△CMB，

由C（3，-3）得：BC=HM=2，

∴BM=NH=1，即N（2，0），M（1，-2）

此時R（4，-1）；

②當M為直角頂點時，M在x軸上方時，

同理可得：BC=HM=2，BM=NH=5，即M(1，2)，N（-4，0），C（3，-3）

此時R（-2，-5）；

③當N為直角頂點時，且N在x軸負半軸時，

同理得：NH=NQ=3，QC=HM=5，即N（-2，0）M（1，5）C（3，-3）

此時R（6，2）；

④當N為直角頂點時，且N在x軸正半軸時，

同理得：NH=CQ=3，QN=HM=1，即N（4，0）M（1，1）C（3，-3）

此時R（0，-2）；

⑤當C為直角頂點時，此種情況不存在

綜上所述，R點坐標為（4，-1）、（-2，-5）、（6，2）、（0，-2）．