Question

已知：如圖，在△ABC中，D為A月邊上一點，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB?AD．

    (1)試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形，

    (2)若AB=1，求AC的長，

    (3)試構造一個等腰梯形，要求該梯形連同它的兩條對角線所形成的8個三角形中有盡可能多的等腰三角形．

Answer 1

解：(1)在△ABC中，AC=BC，∠A＝36°，∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108°

在△ABC與△CAD中，∠A=∠B=36°．

∵AC²=AB?AD，∴．

∴△ABC∽△CAD．

∴∠ACD=∠B=36°．

∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°．

∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．

 (2)設AC＝x，則AD=1-BD=1-BC=1-2x

∴x²=1×(1-x)，即x²＋x-1＝0．解得 （舍去)．

∴

(3)說明：按照畫出的梯形中，有4個，6個和8個等腰三角形三種情況分類得分．

①有4個等腰三角形，得1分；

②有6個等腰三角形，得2分；

③有8個等腰三角形，得4分．