Question

（10分）如圖1，四邊形ABCD、EFGH為全等的矩形．且矩形ABCD的對角線交于點E，點A在EG上，∠ACB=300．將矩形EFGH繞點E順時針旋轉а角（00＜а＜600），如圖2，GE、FE與AD分別相交于N、M．

（1）求證：AN+DM>MN；

（2）若MN2+DM2=AN2，求旋轉角а的大小．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）45°．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的對角線互相平分且相等可得AE=DE，再求出∠AED=120°，將△AEN繞點E順時針旋轉120°得到△DPE，連接MP，根據旋轉的性質可得EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，再求出∠MEN=∠MEP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MEN和△MEP全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=MP，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明即可；

（2）利用勾股定理逆定理判斷出△DPM是直角三角形，根據全等三角形對應角相等可得∠EMN=∠EMP=45°，利用三角形的內角和定理求出∠MNE=75°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AEN=45°，即為旋轉角度數．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AE=DE，

∵∠ACB=30°，∴∠AED=180°﹣30°×2=120°，

將△AEN繞點E順時針旋轉120°得到△DPE，連接MP，

則EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，

∵∠AED=120°，∴∠MEN=∠MEP=60°，

在△MEN和△MEP中，

∵EP=NE，∠MEN=∠MEP，EM=EM，∴△MEN≌△MEP（SAS），∴MN=MP，

由三角形的三邊關系得，DP+DM＞MP，∴AN+DM＞MN；

（2）【解析】
∵MN2+DM2=AN2，∴△DPM是直角三角形，∠DMP=90°，

∵△MEN≌△MEP，∴∠EMN=∠EMP=45°，

在△MNE中，∠MNE=180°﹣45°﹣60°=75°，

在△ANE中，∠AEN=∠MNE﹣∠CAD=75°﹣30°=45°，

∴旋轉角為45°．

考點：旋轉的性質．

考點分析： 考點1：圖形的平移與旋轉 定義：
將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移是圖形變換的一種基本形式。平移不改變圖形的形狀和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性質：
經過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行且相等；
平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個圖形是全等形)。
（1）圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發生變化;
（2）圖形平移后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等
（3）多次連續平移相當于一次平移。
（4）偶數次對稱后的圖形等于平移后的圖形。
（5）平移是由方向和距離決定的。
這種將圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的位置移動，叫做圖形的平移運動，簡稱為平移
平移的條件：確定一個平移運動的條件是平移的方向和距離。 平移的三個要點
1 原來的圖形的形狀和大小和平移后的圖形是全等的。
2 平移的方向。（東南西北，上下左右,東偏南n度，東偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距離。（長度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通過簡單的平移可以構造精美的圖形。也就是花邊，通常用于裝飾，過程就是復制-平移-粘貼。
2.平移長于平行線有關,平移可以將一個角,一條線段,一個圖形平移到另一個位置,是分散的條件集中到一個圖形上,使問題得到解決。 平移作圖的步驟：
（1）找出能表示圖形的關鍵點；
（2）確定平移的方向和距離；
（3）按平移的方向和距離確定關鍵點平移后的對應點；
（4）按原圖的順序，連結各對應點。 試題屬性

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