Question

【題目】如圖，二次函數的圖象交軸于點，點，交軸于點

（1）求二次函數的解析式；

（2）連接，在直線上方的拋物線上有一點，過點作軸的平行線，交直線于點，設點的橫坐標為，線段的長為，求關于的函數關系式；

（3）若點在軸上，是否存在點，使以、、為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．

【解析】

（1）利用交點式求二次函數的解析式；
（2）設點N（n，-n2-n+2），則點F（n，n+2），l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）分CB=CM、BC=BM、BM=CM三種情況，分別求解即可．

解：（1）∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），
設二次函數的解析式為：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

故拋物線的表達式為：y=-x2-x+2；
（2）設直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直線AC的解析式為：y=x+2，

設點N（n，-n2-n+2），則點F（n，n+2），

l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三種情況：
①如圖2，當BC=CM1時，M1（-1，0）；

②如圖2，由勾股定理得：BC= ，
以B為圓心，以BC為半徑畫圓，交x軸于M2、M3，則BC=BM2=BM3=，
此時，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如圖3，作BC的中垂線，交x軸于M4，連接CM4，則CM4=BM4，

設OM4=x，則CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x軸的負半軸上，
∴M4（-，0），

綜上，點M的坐標為：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．